Question

【題目】已知函數．

（1）當時，證明：函數有兩個零點．

（2）若函數有兩個不同的極值點，記作，且，證明（為自然對數的底數）．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.

【解析】

（1）先求導數，確定函數單調區間，再利用零點存在定理證明結果；

（2）先對要證不等式兩邊取對數，結合極值點條件轉化為證，再根據極值點條件解得，代入再次轉化所求不等式為，令，構造函數，利用導數求其單調性，根據單調性確定其最值，最后根據最值證不等式.

證明：（1）的定義域為，由，可得．

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增，

所以．

取，則，記，

所以在上單調遞減，．

所以當時，，所以函數在上存在一個零點．

當時，，所以函數在上存在一個零點．

綜上，當時，函數有兩個零點．

（2）依題意，得，則．

因為有兩個極值點，所以．

因為要證明，所以只需證明，即，所以只需證明．

又因為，所以只需證明①．

由可得，則②．

由①②可知，即．

設，則上式等價于．

令，則．

因為，所以，所以在上單調遞增，

所以當時，，即，所以原不等式成立，即．