【題目】已知橢圓的一個頂點為
，焦點在
軸上，中心在原點.若橢圓短軸的上頂點
到直線
的距離為
.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若橢圓的下頂點為
，設直線
與橢圓相交于不同的兩點
，
，當
時，求
的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
（1）根據橢圓的頂點坐標及焦點位置，可得
；由上頂點
到直線
的距離，結合點到直線距離公式可求得
，即可得橢圓的方程；
（2）設
，
，弦
的中點
，聯立直線方程與橢圓方程，根據兩個不同交點可知
，得
；由中點坐標公式及韋達定理表示出
的坐標，由題意可知
，進而由兩條直線垂直時的斜率關系得
，即
，由上述三式即可確定
的取值范圍.
（1）依題意可設橢圓方程為
，則橢圓上頂點
.
由題設
，解得
，
因為焦點在
軸上，所以舍去.
∴所求橢圓的方程為.
（2）設，，弦的中點.
由
，得
.
∵直線與橢圓相交，
∴
.①
∴
，從而
.
由（1）得
，
∴
.
又∵
，
∴，
則
，即.②
把②代入①，得
，解得
；
由②，得，解得
.
綜上求得的取值范圍是.
名校課堂系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在信息時代的今天，隨著手機的發展，“微信”越來越成為人們交流的一種方法，某機構對“使用微信交流”的態度進行調查，隨機抽取了100人，他們年齡的頻數分布及對“使用微信交流”贊成的人數如下表：（注：年齡單位：歲）
年齡 |
|
|
|
|
|
|
頻數 | 10 | 30 | 30 | 20 | 5 | 5 |
贊成人數 | 9 | 25 | 24 | 9 | 2 | 1 |
（1）若以“年齡45歲為分界點”，由以上統計數據完成下面的
列聯表，并通過計算判斷是否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為“使用微信交流的態度與人的年齡有關”？
年齡不低于45歲的人數 | 年齡低于45歲的人數 | 合計 | |
贊成 | |||
不贊成 | |||
合計 |
（2）若從年齡在
，
調查的人中各隨機選取1人進行追蹤調查，求選中的2人中贊成“使用微信交流”的人數恰好為1人的概率.
| 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
參考公式：
，其中
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系xOy中，直角三角形ABC的三個頂點都在橢圓
上，其中A（0，1）為直角頂點．若該三角形的面積的最大值為
，則實數a的值為_____．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設首項為1的正項數列{an}的前n項和為Sn，數列
的前n項和為Tn，且
，其中p為常數．
（1）求p的值；
（2）求證：數列{an}為等比數列；
（3）證明：“數列an，2xan+1，2yan+2成等差數列，其中x、y均為整數”的充要條件是“x＝1，且y＝2”．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，四棱錐P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分別是AB，PD的中點，且PA=AD．
（Ⅰ）求證：AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求證：平面PEC⊥平面PCD．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知橢圓
的短軸長為
，直線
與橢圓
相交于
兩點，線段
的中點為
.當與
連線的斜率為
時，直線的傾斜角為
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若
是以為直徑的圓上的任意一點，求證：
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“總把新桃換舊符”（王安石）、“燈前小草寫桃符”（陸游），春節是中華民族的傳統節日，在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現代人們通過貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“福”字、春聯和燈籠這三類禮品中任意免費領取一件，若有4名顧客都領取一件禮品，則他們中有且僅有2人領取的禮品種類相同的概率是（ ）
A.
B.
C.
D.
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