Question

【題目】已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于和兩點.

（1）當時，求直線的方程；

（2）若過點且垂直于直線的直線與拋物線交于兩點，記與的面積分別為，求的最小值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）12.

【解析】

(1) 設直線方程為,聯立直線與拋物線的方程,利用韋達定理求解得即可.

(2) 聯立直線與拋物線的方程,利用韋達定理表達,再根據基本不等式的方法求最小值即可.

解: （1）由直線過定點,可設直線方程為.

聯立消去,得,

由韋達定理得,

所以.

因為.所以,解得.

所以直線的方程為.

（2）由(1),知的面積為

.

因為直線與直線垂直,

且當時,直線的方程為,則此時直線的方程為,

但此時直線與拋物線沒有兩個交點,

所以不符合題意,所以.因此,直線的方程為.

同理,的面積.

所以

,

當且僅當,即,亦即時等號成立.