【題目】已知數列
滿足
，
，
，記數列的前
項和為
，則對任意
，則①數列單調遞增；②
；③
；④
．上述四個結論中正確的是______．（填寫相應的序號）
【答案】①②③
【解析】
先證明當
時，總有
，再利用數學歸納法證明
，最后再利用導數
及
均成立，從而可得正確的選項.
先證明一個性質：當時，總有(★).
證明：令
，其中，
，
為
上的減函數，
因
，
，故在存在唯一的零點
.
當
時，
；當
時，
，
故在
為增函數，在
為減函數，
因
，故當時，總有
即，
從而性質得證.
令
，由已證性質則有
，
故
對任意的
恒成立.
以下用數學歸納法證明：當
時，總有
因為
，所以
成立.
設當
時，
，因
，故
即
，
所以
時，也有成立，
由數學歸納法可知：對任意的，總有.
由性質★可得
即
，故數列
單調遞增，所以①正確.
令
，其中
.
則
，
在
為減函數且
，
所以在為減函數，
所以當
時，有
即
，
所以
即
，整理得到：
，其中
故
，
累加后可得
即
，故②正確.
令
，其中
則
，
在為減函數，
而
，
，
所以在存在一個零點
，
當
時，
；當
時，
，
故
在
為增函數，在
為減函數，
而
，所以當時，
恒成立，
所以
在
上恒成立.
故當時，總有
成立即
成立，故③正確.
因為，故
即
，
因為
，由累乘可得
，
整理得到
，
當
時，則有
，
故
，此時有
，故④不成立.
綜上，四個結論中正確的是①②③.
故答案為：①②③.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，已知直線
經過點
，傾斜角
，在極坐標系（與直角坐標系取相同的長度單位，以原點
為極點，以
軸正半軸為極軸）中，圓
的極坐標方程為
.
（1）寫出直線的參數方程，并把圓的極坐標方程化為直角坐標方程；
（2）設與圓相交于
、
兩點，求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在正方體
中，點
是線段
上的動點，則下列說法正確的是（ ）
A.無論點在上怎么移動，都有
B.當點移動至中點時，才有
與
相交于一點，記為點
，且
C.無論點在上怎么移動，異面直線與
所成角都不可能是
D.當點移動至中點時，直線與平面
所成角最大且為
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2019年10月1日，是中華人民共和國成立70周年紀念日.70年砥礪奮進，70年波瀾壯闊，感染、激勵著一代又一代華夏兒女，為祖國的繁榮昌盛努力拼搏，奮發圖強.為進一步對學生進行愛國教育，某校社會實踐活動小組，在老師的指導下，從學校隨機抽取四個班級160名同學對這次國慶閱兵受到激勵情況進行調查研究，記錄的情況如下圖：
（1）如果從這160人中隨機選取1人，此人非常受激勵的概率和此人是很受激勵的女同學的概率都是
，求
的值；
（2）根據“非常受激勵”與“很受激勵”兩種情況進行研究，判斷是否有
的把握認為受激勵程度與性別有關.
附：
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】若函數
在
處有極值，且
，則稱為函數的“F點”.
（1）設函數
（
）.
①當
時，求函數的極值；
②若函數存在“F點”，求k的值；
（2）已知函數
（a，b，
，
）存在兩個不相等的“F點”
，
，且
，求a的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某中學準備組建“文科”興趣特長社團，由課外活動小組對高一學生文科、理科進行了問卷調查，問卷共100道題，每題1分，總分100分，該課外活動小組隨機抽取了200名學生的問卷成績（單位：分）進行統計，將數據按照
，
，
，
，
分成5組，繪制的頻率分布直方圖如圖所示，若將不低于60分的稱為“文科方向”學生，低于60分的稱為“理科方向”學生.
|
|
（1）根據已知條件完成下面
列聯表，并據此判斷是否有99%的把握認為是否為“文科方向”與性別有關？
（2）將頻率視為概率，現在從該校高一學生中用隨機抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次，記被抽取的3人中“文科方向”的人數為
，若每次抽取的結果是相互獨立的，求的分布列、期望
和方差
.
參考公式：
，其中
.
參考臨界值：
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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