Question

【題目】已知函數，當時，的極大值為；當時，有極小值。求：

（1）的值；

（2）函數的極小值。

Answer 1

【答案】（1）a =-3，b =-9，c=2

（2）-25

【解析】

利用函數f（x）在x=x0取得極值的充要條件f′（x0）=0且f′（x）在x=x0的左右附近符號相反即可得出a，b的值，再利用極大值即可得到c，從而得出答案．

(1)∵f(x) = x3+ ax2+bx + c ,∴f′ (x) = 3x2+2ax +b

∵當x =- 1 時函數取得極大值7，當x = 3時取得極小值

∴x =- 1 和x = 3是方程f′ (x)=0的兩根，有

∴， ∴f(x) = x3-3x2-9x+c.

(2)∵當x = -1時，函數取極大值7，∴(-1)3–3(-1)2–9(-1)+c= 7,∴c=2.

此時函數f(x)的極小值為：f（3）= 33-3×32-9×3×2=-25.