Question

（2012•石景山區一模）集合U={（x，y）|x∈R，y∈R}，M={（x，y）||x|+|y|＜a}，P={（x，y）|y=f（x）}，現給出下列函數：①y=a^x，②y=lo

g

a

x，③y=sin（x+a），④y=cosax，若0＜a＜1時，恒有P∩C_UM=P，則所有滿足條件的函數f（x）的編號是

①②④

．

Answer 1

分析：利用補集的定義求出?uM，由P∩?uM=P，得到P⊆?uM，故P中的函數f（x）必須滿足||x|+|y|≥a，檢驗各個選項是否滿足此條件．

解答：解：∵?uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，0＜a＜1時，P∩?uM=P，∴P={（x，y）y=f（x）}⊆?uM，
如圖所示：結合圖形可得滿足條件的函數圖象應位于曲線|x|+|y|=a（-a≤x≤a ）的上方．
①中，x∈R，y＞0，滿足|x|+|y|≥a，故①可�。�
②中，x＞0，y=log_a^x∈R，滿足||x|+|y|≥a，故②可�。�
③中的函數不滿足條件，如 x=0，a=

π

4

時，y=

2

2

，不滿足|x|+|y|≥a．
④中x∈R，-1≤y≤1，滿足||x|+|y|≥a，故④可�。�
故答案為 ①②④．

點評：題考查補集的定義和運算，交集的定義和運算，求出?uM={（x，y）||x|+|y|≥a}，是解題的關鍵，屬于中檔題．