Question

【題目】如圖所示，某公路 一側有一塊空地 ，其中 ， ．當地政府擬在中間開挖一個人工湖△OMN，其中M，N都在邊AB上（M，N不與A，B重合，M在A，N之間），且∠MON＝30°．

（1）若M在距離A點2 km處，求點M，N之間的距離；

（2）為節省投入資金，人工湖△OMN的面積要盡可能小．試確定M的位置，使△OMN的面積最小，并求出最小面積．

Answer 1

【答案】（1） （2）最小面積是

【解析】試題分析：

（1）先利用余弦定理分別求出，再利用角度轉化和正弦定理求出；（2）設，利用三角形之間的正余弦定理轉化應用，解得，應用函數化簡技巧，解得最小值。

試題解析：

（1）在△OAB中，因為OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．

在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．

在△OMN中，由＝，得MN＝×＝．

（2）解法1：設AM＝x，0＜x＜3．

在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝x2－3x＋9，

所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，

在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)

＝cos∠AOM＝．

由＝，得ON＝·＝．

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···

＝，0＜x＜3．

令6－x＝t，則x＝6－t，3＜t＜6，則S△OMN＝＝ (t－9＋)

≥·(2－9)＝．

當且僅當t＝，即t＝3，x＝6－3時等號成立，S△OMN的最小值為．

所以M的位置為距離A點6－3 km處，可使△OMN的面積最小，最小面積是

km2．

解法2：設∠AOM＝θ，0＜θ＜

在△OAM中，由＝，得OM＝．

在△OAN中，由＝，得ON＝＝．

所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···

＝＝＝

＝＝，0＜θ＜．

當2θ＋＝，即θ＝時，S△OMN的最小值為．

所以應設計∠AOM＝，可使△OMN的面積最小，最小面積是km2．