Question

【題目】在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，側(cè)面底面ABCD，，，E，Q分別是BC和PC的中點(diǎn)．

（I）求直線BQ與平面PAB所成角的正弦值；

（Ⅱ）求二面角E-DQ-P的正弦值．

Answer 1

【答案】（I） （II）

【解析】

（I）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，BD，建立空間直角坐標(biāo)系后，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，可得，面PAB的一個(gè)法向量為，利用即可得解；

（Ⅱ）由題意，求出平面DEQ的一個(gè)法向量為，平面DQC的一個(gè)法向量為，求出后，利用平方關(guān)系即可得解.

（I）取AD中點(diǎn)O，連接OP，OB，BD．

因?yàn)?/span>，所以．

又側(cè)面底面ABCD，

面面，平面POD，

所以平面ABCD，易知．

又在菱形ABCD中，，O為AD中點(diǎn)，則

故建立以O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，分別為x，y，z軸的坐標(biāo)系．

因?yàn)?/span>ABCD菱形，且，，

則，，，，，

又E，Q是中點(diǎn)，則、，

所以，，

設(shè)面PAB的一個(gè)法向量為，直線BQ與平面PAB所成角，

則，

取，則，，

故，

所以，

故直線BQ與平面PAB所成角的正弦值為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，，，，，

所，，

所以平面DEQ的一個(gè)法向量為，

因，，

設(shè)平面DQC的一個(gè)法向量為，二面角E-DQ-P為，

則即．

令，則，，即

所以，

所以，

故所求二面角的正弦值為．