Question

已知數列{a_n}滿足條件；a₁=1，a₂=r（r＞0）且{a_na_n+1}是公比為q（q＞0）的等比數列．
（1）求出使不等式a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3（n∈N）成立的q的取值范圍；
（2）設b_n=a_2n-1+a_2nn （n∈N），求b_n的表達式；
（3）設{S_n}是數列{b_n}的前n項和，求S_n和 

lim

n→∞

1

Sn

；
（4）設r=219.2-1，q=

1

2

，求數列{

log2bn+1

log2bn

}的最大值與最小值．

Answer 1

分析：（1）由a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，知rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q² 即：q²-q-1＜0∴

1

2

（1-

5

）＜q＜

1

2

（1+

5

），由此能求出0＜q＜

1+ 5

2

．
（2）由數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，知

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，由此能求出b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）當q=1時，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

n(1+r)

=0；當0q＞1時，

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

=0．由此能求出

lim

n→∞

1

Sn

．
（4）由b_n=（1+r）q^n-1，知

log2bn+1

log2bn

=

log2(1+r)+nlog2q

log2(1+r)+(n-1)log2q

=1+

1

n-20.2

，由此能求出數列{

log2bn+1

log2bn

}的最大值和最小值．

解答：解：（1）∵數列{a_n}滿足條件：a₁=1，a₂=r，
且數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，
∴q≠0，r≠0，且a_na_n+1=a₁a₁q^n-1=rq^n-1，
∵a_na_n+1+a_n+1a_n+2＞a_n+2a_n+3，
∴rq^n-1+rqⁿ＞rqⁿ⁺¹+q＞q²
即：q²-q-1＜0，
∴

1

2

（1-

5

）＜q＜

1

2

（1+

5

），
∵q＞0，
∴0＜q＜

1+ 5

2

．
（2）∵數列{a_na_n+1}是公比為q的等比數列，
∴

an+1an+2

anan+1

=

an+2

an

=q，
∵a₁=1，
∴當n=2k-1時，a_n=q^k-1
∵a₂=r，
∴當n=2k時，a_n=rq^k-1．
∵b_n=a_2n-1+a_2n（n∈N），
∴b_n=q^n-1+rq^n-1=（1+r）q^n-1．
（3）當q=1時，S_n=n（1+r），

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1

n(1+r)

=0；
當0q＞1時，S_n=

(1+r)(1-qn)

1-q

lim

n→∞

1

Sn

=

lim

n→∞

1-q

(1+r)(1-qn)

=0．
∴

lim

n→∞

1

Sn

=

1-q 1+r ，0＜q＜1 0，q≥1

．
（4）∵b_n=（1+r）q^n-1，
∴

log2bn+1

log2bn

=

log2(1+r)+nlog2q

log2(1+r)+(n-1)log2q

=1+

1

n-20.2

，
記Cn=

log2bn+1

log2bn

，
當n-20.2＞0，即n＞21，n∈N⁺時，C_n隨n的增大而減小，
∴1＜Cn≤C21=1+

1

21-20.2

=

9

4

．
當n-20.2＜0，即n≤20，n∈N⁺時，C_n隨n的增大而減小，
∴1＞C_n≥C₂₀=1+

1

20-20.2

=-4．
綜上所述，對任意的自然數n，有C₂₀≤C_n≤C₂₁，
∴數列{

log2bn+1

log2bn

}中，n=21時，取最大值

9

4

，n=20時，取最小值-4．

點評：本題考查數列的綜合應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．