Question

【題目】已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，則函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由已知可分析出函數(shù)是偶函數(shù)，則其零點(diǎn)必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，故是偶函數(shù)，則其零點(diǎn)必然關(guān)于原點(diǎn)對稱，故在上所有的零點(diǎn)的和為0，則函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和，求出上所有零點(diǎn)，可得答案.

因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

所以函數(shù)是偶函數(shù)，

所以函數(shù)零點(diǎn)都是以相反數(shù)的形式成對出現(xiàn)的，

所以在上所有的零點(diǎn)的和為0，

所以函數(shù)在上所有的零點(diǎn)的和，

即函數(shù)在上所有的零點(diǎn)之和，

由時(shí)，，

即，

所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，

所以函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，

函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，

函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，

函數(shù)在上的值域?yàn)?/span>，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，

故在上恒成立，

所以在上無零點(diǎn)，

同理在上無零點(diǎn)，

以此類推，函數(shù)在上無零點(diǎn)，

綜上函數(shù)在上的所有零點(diǎn)之和為8，

故選：B.