Question

已知y=f（x）是R上的可導函數，對于任意的正實數t，都有函數g（x）=f（x+t）-f（x）在其定義域內為減函數，則函數y=f（x）的圖象可能為如圖中（　　）

A．

B．

C．

D．

Answer 1

分析：根據題意，可得函數y=f'（x）是其定義域上的減函數．由此再結合各圖象對應的基本初等函數，利用求導法則求出它們的導數，再討論導數的單調性，即可得到正確答案．

解答：解：∵函數g（x）=f（x+t）-f（x）在其定義域內為減函數，
∴g'（x）=f'（x+t）-f'（x）＜0在其定義域內恒成立
即f'（x+t）＜f'（x），結合t＞0，得函數y=f'（x）是其定義域上的減函數．
對于A，可設函數f（x）=ax²+bx+c，（a＜0）
∴f'（x）=2ax+b，滿足在其定義域上為減函數；
對于B，可設f（x）=a^x，（0＜a＜1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函數，不符合題意；
對于C，可設f（x）=x³，可得f'（x）=3x²在其定義域上不是減函數，故C不正確；
對于D，可設f（x）=a^x，（a＞1）
∴f'（x）=a^xlna，在（0，+∞）上是增函數，不符合題意．
故選A

點評：本題給出函數的導數滿足的條件，求函數可能的圖象．考查了基本初等函數的圖象與性質，函數導數與單調性質關系等知識，屬于中檔題．