Question

已知f（x）定義在R上的函數，對于任意的實數a，b都有f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=1．
（1）求f（

1

2

）的值
（2）求f（2^-n）的解析式（n∈N^*）

Answer 1

分析：（1）先對a，b賦值1求出f（1），在利用f（1）=f（2×

1

2

）即可求出f（

1

2

）的值；
（2）先利用條件找到2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．再利用結論構造出一個等差數列，求出等差數列的通項進而求出f（2^-n）的解析式．

解答：解：（1）令a=b=1求得f（1）=0（2分）
又f（1）=f（2×

1

2

）=2f（

1

2

）+

1

2

f（2）∴f（

1

2

）=-

1

4

（5分）
（2）f（2^-n）=f（2^-1•2^1-n）=2^-1f（2^1-n）+2^1-nf（2^-1），
∴2ⁿf（2^-n）=2^n-1f（2^1-n）-2^-1．
令b_n=2ⁿf（2^-n），∴b_n=b_n-1-2^-1，（9分）
∴數列{b_n}是以公差d=-

1

2

 b₁=2f（

1

2

）=-

1

2

的等差數列（12分）
∴b_n=b₁+（n-1）•（-

1

2

），∴b_n=-

n

2

，∴f（2^-n）=-

n

2n+1

（14分）

點評：一般情況下，當具體的函數解析式沒有卻要找具體的函數值時，其常用方法是用賦值法．