Question

某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2010年世博會期間進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足3-x與t+1成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2010年生產化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需要再投入32萬元的生產費用，若將每件化妝品的售價定為：其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產的化妝品正好能銷完．
（1）將2010年利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數；
（2）該企業2010年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？
（注：利潤=銷售收入-生產成本-促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

Answer 1

分析：（1）根據題意，3-x與t+1成反比例，列出關系式，然后根據當t=0時，x=1，求出k的值，通過x表示出年利潤y，并化簡，代入整理即可求出y萬元表示為促銷費t萬元的函數．
（2）根據已知代入（1）的函數，分別進行化簡，利用關于t的方程必須有兩正根建立關系式，可求出最值，即促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大．

解答：解：（1）由題意：3-x=

k

t+1

，
且當t=0時，x=1．
所以k=2，即 x=

3t+1

t+1

．
當年銷量為x萬件時，成本為3+32x（萬元）．
化妝品的售價為

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

（萬元/萬件）
所以年利潤y=(

3+32x

x

×150%+

1

2

×

t

x

)x-(3+32x+t)（萬元）
把 x=

3t+1

t+1

代入整理得到 y=

-t2+98t+35

2(t+1)

，其中t≥0．
（2）去分母整理得到：t²+2（y-49）t+2y-35=0．
該關于t的方程在[0，+∞）上有解．
當2y-35≤0，即y≤17.5時，必有一解．
當2y-35＞0時，該關于t的方程必須有兩正根
所以

4(y-49)2-4(2y-35)≥0 -2(y-49)＞0 2y-35＞0

．解得：17.5＜y≤42．
綜上，年利潤最大為42萬元，此時促銷費t=7（萬元）．
所以當促銷費定在7萬元時，企業的年利潤最大．…（12分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、方程根的分布等基礎知識，考查學生分析問題和解決問題的能力，強調對知識的理解和熟練運用，屬于中檔題．