Question

已知(

x

-

3	x

)n的二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512，
（1）求展開式的所有有理項(xiàng)（指數(shù)為整數(shù)）．
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+∧+（1-x）ⁿ展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)二項(xiàng)展開式中所有奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)之和為512，寫出所有系數(shù)的和的表示形式，得到n=10，寫出通項(xiàng)式，使得通項(xiàng)式中x的指數(shù)等于整數(shù)，求出所有的項(xiàng)．
（2）根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)，變形整理把一項(xiàng)移項(xiàng)，寫出展開式中x²項(xiàng)的系數(shù)，把系數(shù)寫成兩項(xiàng)的差，依次相加得到結(jié)果．

解答：解：（1）C_n⁰+C_n²+…=2^n-1=512=2⁹
∴n-1=9，n=10
Tr+1=

C

r 10

(

x

)10-r(-

3	x

)r=(-1)r

C

r 10

x5-

r

6

（r=0，1，，10）
∵5-

r

6

∈Z，∴r=0，6
有理項(xiàng)為T₁=C₁₀⁰x⁵，T₇=C₁₀⁶x⁴=210x⁴
（2）∵C_n^r+C_n^r-1=C_n+1^r，
∴x²項(xiàng)的系數(shù)為C₃²+C₄²+…+C₁₀²=（C₄³-C₃³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）
=C₁₁³-C₃³=164

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理，解題的關(guān)鍵是對(duì)于二項(xiàng)式性質(zhì)的變形應(yīng)用，然后依次合并同類項(xiàng)，得到最簡結(jié)果．