Question

【題目】已知函數f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），函數g（x）滿足g（x）=x﹣1，（x∈R）．
（1）若函數f（x）在x=1時存在極值，求a的值；
（2）在（1）的條件下，當x＞1時，blnx＜ ，求實數b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵f（x）=1﹣ax+lnx，（x＞0），

∴ ，由f′（1）=0，得a=1，

此時f（x）在（0，1）為增函數，在（1，+∞）為減函數，

所以f（x）在x=1時存在極大值．所以a=1

（2）解：當b≥0，x＞1時，blnx≥0，

當x＞1時，由（1）知，f（x）＜f（1）=0，g（x）＞0，

所以 ，blnx＜ ，不成立．

故b＜0，此時，當x＞1時，blnx＜ 可轉化為：（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1＜0，

令g1（x）=（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1，則 ，

令 ，則 = ，

①若﹣ ，當x∈（1，﹣ ）時， ，得 =0，

所以g1（x）為（1，﹣ ）上的增函數，故存在x0∈（1，﹣ ），使g1（x）＞g1（1）=0，

與g1（x）＜0相矛盾，故﹣ 時，不能使blnx＜ ，成立；

②若b≤﹣ ，當x＞1時，x+1+ ＞0，即 ，得 ，

∴g1（x）為（1，+∞）上的減函數，故g1（x）＜g1（1）=0

∴blnx＜ 成立．

綜上所述，實數b的取值范圍是（﹣∞，﹣ ]

【解析】（1）求出 ，由f′（1）=0及函數f（x）在x=1時存在極值，能求出a．（2）推導出b＜0，此時，當x＞1時，blnx＜ 可轉化為（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1＜0，令g1（x）=（bx﹣b﹣1）lnx+x﹣1，則 ，由此利用導數性質及分類討論思想能求出實數b的取值范圍．
【考點精析】通過靈活運用函數的極值與導數，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值即可以解答此題．