Question

下列命題中的真命題的個數是（　　）
（1）命題“若x=1，則x²+x-2=0”的否命題為“若x=1，則x²+x-2≠0”；
（2）若命題p：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1，則￢p：?x∈（0，+∞），（

1

2

）^x＜1；
（3）設命題p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀，命題q：?x∈（0，

π

2

），tanx＞sinx則p∧q為真命題；
（4）設a，b∈R，那么“ab+1＞a+b”是“a²+b²＜1”的必要不充分條件．

A．3個

B．2個

C．1個

D．0個

Answer 1

分析：（1）否定原命題的題設做題設，否定原命題的結論做結論，就得到原命題的否命題．據此即可進行判斷；
（2）根據命題：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1是特稱命題，其否定為全稱命題，將“存在”改為“任意”，“≥“改為“＜”即可進行判斷；
（3）根據對數的運算性質，我們可以判斷出命題p的真假，根據三角函數的性質，可以判斷出命題q真假，再由復合命題p∧q的真值表進行判斷即可；
（4）由于a²+b²＜1表示以原點為圓心以1的半徑的圓內各點，ab+1＞a+b即（a-1）（b-1）＞0，畫出其表示的區域，根據圖形，結合兩個范圍的包含關系，分別判斷a²+b²＜1⇒ab+1＞a+b與ab+1＞a+b⇒a²+b²＜1的真假，然后根據充要條件的定義，即可進行判斷．

解答：解：（1）∵x=1的否定是x≠1，
x²+x-2=0的否定是x²+x-2≠0，
∴命題“若x=1，則x²+x-2=0”的否命題為：
“若x≠1，則x²+x-2≠0”；故（1）是假命題．
（2）∵命題p：?x₀∈（-∞，0]，(

1

2

)x0≥1，是特稱命題
∴命題的否定為?x∈（-∞，0]，（

1

2

）^x＜1．故（2）是假命題；
（3）∵命題p：?x₀∈（0，∞），log₂x₀＜log₃x₀為真命題，
命題q：?x∈（0，

π

2

），tanx＞sinx也為真命題，
∴命題“p∧q”是真命題，故（3）為真；
（4）∵a²+b²＜1時，（a，b）在以原點為圓心以1的半徑的圓內，
ab+1＞a+b即（a-1）（b-1）＞0，畫出其表示的區域（陰影部分），
∵a²+b²＜1時，（a，b）在以原點為圓心以1的半徑的圓內，
此時ab+1＞a+b一定成立，
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1的必要條件；
但當ab+1＞a+b時，a²+b²＜1不一定成立
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1的不充分條件；
故|a|+|b|＜1是a²+b²＜1成立的必要不充分條件，故（4）正確命題．
命題中的真命題的是（3），（4）．
故選B．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用、四種命題的相互轉化，這類問題的常見錯誤是沒有把全稱量詞改為存在量詞，或者對于“＞”的否定用“＜”了．這里就有注意量詞的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特稱命題的否定是全稱命題，“存在”對應“任意”．屬基礎題．