Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且a2an=S2+Sn對一切正整數n都成立．
（1）求a1 ， a2的值；
（2）設a1＞0，數列{lg }的前n項和為Tn ， 當n為何值時，Tn最大？并求出Tn的最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：當n=1時，a2a1=S2+S1=2a1+a2①

當n=2時，得 ②

②﹣①得，a2（a2﹣a1）=a2③

若a2=0，則由①知a1=0，

若a2≠0，則a2﹣a1=1④

①④聯立可得 或

綜上可得，a1=0，a2=0或 或

（2）解：當a1＞0，由（Ⅰ）可得

當n≥2時， ，

∴

∴ （n≥2）

∴ =

令

由（1）可知 = =

∴{bn}是單調遞減的等差數列，公差為﹣ lg2

∴b1＞b2＞…＞b7=

當n≥8時，

∴數列 的前7項和最大， = =7﹣

【解析】（1）由題意，n=2時，由已知可得，a2（a2﹣a1）=a2 ， 分類討論：由a2=0，及a2≠0，分別可求a1 ， a2（2）由a1＞0，令 ，可知 = = ，結合數列的單調性可求和的最大項
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解數列的前n項和的相關知識，掌握數列{an}的前n項和sn與通項an的關系，以及對數列的通項公式的理解，了解如果數列an的第n項與n之間的關系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數列的通項公式．