Question

已知函數f（x）對任意的x，y∈R，總有f（x）+f（y）=f（x+y），且x＜0時，f（x）＞0．
（1）求證：函f（x）是奇函數；
（2）求證：函數f（x）是R上的減函數；
（3）若定義在（-2，2）上的函數f（x）滿足f（-m）+f（1-m）＜0，求實數m的取值范圍．

Answer 1

（1）證明：∵f（x+y）=f（x）+f（y）
∴令x=y=0 有f （0 ）=0
令y=-x 有：0=f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
∴函數f（x）是奇函數；…（5分）
（2）證明：設x₂＞x₁則x₁-x₂＜0
∵當x＜0時，f（x）＞0
∴f（x₁-x₂）＞0
∴f（x₁）=f[（x₁-x₂）+x₂]=f（x₁-x₂）+f（x₂）＞f（x₂）
∴函數f（x）是R上的減函數
（3）∵f（-m）+f（1-m）＜0，∴f（-m）＜f（m-1），
且f（-m）+f（1-m）=f（1-2m）
∴

-2＜-m＜2 -2＜1-m＜2 -2＜1-2m＜2 -m＞m-1

，解得：-

1

2

＜m＜

1

2

．…（16分）