Question

已知點M，N的坐標分別為（-2，0），（2，0），直線MP，NP相交于點P，且它們的斜率之積是-

1

3

，點P的軌跡記為D．△ABC的頂點A，B在D上，C在直線l：y=x+2上，且AB∥l．
（1）求曲線D的方程；
（2）若AB邊通過坐標原點O，求AB的長及△ABC的面積；
（3）若線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線交于線段AC的中點，求△ABC的外接圓面積最大時線段AB所在直線的方程．

Answer 1

分析：（1）直接根據題中條件求曲線D的方程．
（2）坐標原點是曲線D的圓心，故AB邊是圓的直徑，AB與直線l之間的距離為△ABC的高，，△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d
（3）圓心在弦的中垂線上，直徑對的圓周角等于90度，當所求圓的半徑最大時，所求圓的面積最大．

解答：解；（1）設點P的坐標（ x，y），由條件得：

y

x+2

•

y

x-2

=-1，化簡得：曲線D的方程為：x²+y²=4，表示一個圓．
（2）∵點A，B在D上，AB邊通過坐標原點O，故AB邊是圓的直徑，∴AB=4，且AB方程為：y=x，
AB與直線l之間的距離d=

2

2

=

2

2

，△ABC的面積S=

1

2

|AB|•d=

2

．
（3）∵線段AB的垂直平分線與線段BC的垂直平分線交于線段AC的中點，
∴線段AC的中點是△ABC外接圓的圓心，且AB⊥BC，∴點C還在圓x²+y²=4 上，
外接圓半徑r=

1

2

AC，又AC最大為圓x²+y²=4 的直徑4，
∴r=

1

2

AC的最大值是2，此時，A（0，-2），C（0，2）
AB方程為y+2=1•（x-0），即：x-y-2=0．

點評：本題主要考查求曲線的方程，綜合運用圓的性質，直線和圓的位置關系，屬于難題．