Question

已知函數(shù)f(x)=

1

2

+ln

x

1-x

．
（Ⅰ）求證：存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上，并求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（Ⅱ）定義Sn=

n-1

i=1

f(

i

n

)=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-1

n

)，其中n∈N^*且n≥2，求S₂₀₁₂；
（Ⅲ）對(duì)于（Ⅱ）中的S_n，求證：對(duì)于任意n∈N^*都有lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）存在定點(diǎn)M，使得函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上，則函數(shù)f（x）上的點(diǎn)P和點(diǎn)Q關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，可根據(jù)f（x）+f（2a-x）=2b可以求出a和b的值，進(jìn)而可以證明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）根據(jù)對(duì)稱性，可得f（x）+f（1-x）=1，從而可求出S_n的表達(dá)式，進(jìn)而將n=2012代入，即可求出S₂₀₁₂的值；
（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中求得的S_n的表達(dá)式先求出lnSn+2-lnSn+1=ln

Sn+2

Sn+1

=ln(1+

1

n

)，從而可證明結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)定義域?yàn)椋?，1）．
設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為（a，b），則若點(diǎn)M，使得函數(shù)f（x）圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上
必有f（x）+f（2a-x）=

1

2

+ln

x

1-x

+ 

1

2

+ln

2a-x

1-2a+x

=1+ln

-x2+2ax

-x2+2ax+1-2a

=2b，對(duì)于x∈（0，1）恒成立，
∴1-2a=0，1=2b．，
∴a=b=

1

2

．
所以存在定點(diǎn)M（

1

2

，

1

2

），使得函數(shù)f（x）的圖象上任意一點(diǎn)P關(guān)于M點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)Q也在函數(shù)f（x）的圖象上．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）+f（1-x）=1，
∵Sn=f(

1

n

)+f(

2

n

)+…+f(

n-2

n

)+f(

n-1

n

)…①
∴Sn=f(1-

1

n

)+f(1-

2

n

)+…+f(

2

n

)+f(

1

n

)…②
①+②，得2S_n=n-1，
∴Sn=

n-1

2

(n≥2，n∈N*)，
故S₂₀₁₂=1005.5．
（Ⅲ）當(dāng)n∈N^*時(shí)，由（Ⅱ）知lnSn+2-lnSn+1=ln

Sn+2

Sn+1

=ln(1+

1

n

)
于是lnSn+2-lnSn+1＞

1

n2

-

1

n3

等價(jià)于ln(1+

1

n

)＞

1

n2

-

1

n3

．…（10分）
令g（x）=x³-x²+ln（1+x），則g′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

，
∴當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，g'（x）＞0，即函數(shù)g（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，又g（0）=0．
于是，當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，恒有g(shù)（x）＞g（0）=0，即x³-x²+ln（1+x）＞0恒成立．…（12分）
故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，有l(wèi)n（1+x）＞x²-x³成立，
取x=

1

n

∈(0，+∞)，則有ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

成立．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題重點(diǎn)考查函數(shù)的對(duì)稱性，考查函數(shù)與數(shù)列的綜合，考查了學(xué)生的計(jì)算能力和對(duì)數(shù)列的綜合掌握，解題時(shí)注意整體思想和轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．