Question

已知函數f(x)=ax+b

1+x2

(x≥0)，且函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，又g（1）=0，f（

3

）=2-

3

（1）求f（x）的表達式及值域；
（2）問是否存在實數m，使得命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）和q：g(

m-1

4

)＞

3

4

滿足復合命題p且q為真命題？若存在，求出m的取值范圍，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）函數表達式的求解主要根據函數性質，如此題中f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱；求值域應先判斷函數單調性，再求解
（2）復合命題p且q為真命題即p，q均為真命題，利用函數的單調性以及反函數的性質，求出兩個命題不等式的解集即可求出結果．

解答：解：（1）因為函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，g（1）=0，則f（0）=1即b=1，
又由f（

3

）=2-

3

，得

3

a+2=2-

3

，可得a=-1，故f（x）的表達式為f（x）=

1+x2

-x（x≥0）
f（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2 +x

在定義域[0，+∞）上單調遞減，f（0）=1，又因為f（x）＞0，所以f（x）的值域為（0，1]
（2）復合命題p且q為真命題即要求p，q均為真命題．
命題p：∵f（x）在定義域[0，+∞）上單調遞減，
故命題p：f（m²-m）＜f（3m-4）為真命題?m²-m＞3m-4≥0?m≥

4

3

且m≠2；
命題q：g（

m-1

4

）＞

1

4

，因為函數f（x）與g（x）的圖象關于直線y=x對稱，所以兩個函數互為反函數，具有相同的單調性，所以f（

1

4

）=

1+( 1 4 )2

-

1

4

=

2 17 -1

4

，所以

m-1

4

＜

2 17 -1

4

，即m＜2

17

．
p，q均為真命題時m的范圍是[

4

3

，2)∪(2，2

17

]．

點評：本題考查函數與方程的綜合應用，涉及函數的單調性、反函數、分式不等式的解法、命題的真假判斷等知識，考查分析問題解決問題的能力．