Question

【題目】在邊長為4的正方形中，點E、F分別為邊的中點，以和為折痕把和折起，使點B、D重合于點P位置，連結，得到如圖所示的四棱錐.

（1）在線段上是否存在一點G，使與平面平行，若存在，求的值；若不存在，請說明理由

（2）求點A到平面的距離.

Answer 1

【答案】（1）存在；（2）

【解析】

（1）連結，記與的交點為O，連結.可通過計算判斷，結合相似三角形知識可知，，由此可證；

（2）證法不唯一，可直接采用等體積法，可先求證平面平面，求出P到直線的距離h，設點A到平面的距離為，

則，通過計算可求解；另外兩種證法相類似，詳解見解析；

（1）線段上的點G滿足時，與平面平行.

證明如下：

連結，記與的交點為O，連結.

在正方形中，

∵E、F分別為邊的中點，

∴，

故，

∴

∵平面，平面，

∴平面.

（2）解法一：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面

記與的交點為O，連結，

可知為直角三角形，，

設P到直線的距離為h，∵，∴

∵，

∴平面

∵平面，

∴平面平面

∵平面平面

∴斜邊上的高h即為三棱錐的高

∴，

，設點A到平面的距離為，

∴，

∴，解得.

解法二：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面，

記與的交點為O，連結，

可知為直角三角形，，

易得P到直線的距離為，

∴，

∵，

∴平面，

∴，

又，設點A到平面的距離為h，

∴，

∴，解得

解法三：在正方形中，，

翻折后，

又∵，∴平面.

記與的交點為O，連結，

可知為直角三角形，，

易得.

∵，

∴平面，

∴，

∴，

又，設點A到平面的距離為h，

∴，

∴，解得