Question

已知一次函數y=f（x）的圖象關于直線y=x對稱的圖象為C，且f（1）=0，若點A(n ，

an+1

an

)（n∈N^*）在C上，a₁=1，當n≥2時，

an+1

an

-

an

an-1

=1
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）設Sn=

a1

3!

+

a2

4!

+

a3

5!

+…+

an

(n+2)!

，求

lim

n→∞

Sn．

Answer 1

分析：（1）依題意C過點（0，1），所以設C方程為y=kx+1，由條件推出k=1，

an+1

an

=n+1，從而推出

an

an-1

=n，

an-1

an-2

=n-1，…，

a2

a1

=2，且a₁=1，各式相乘得a_n的解析式．
（2）化簡S_n中的通項為

1

n+1

-

1

n+2

，代入S_n 的表達式化簡為

1

2

-

1

n+2

，從而求出

lim

n→∞

Sn的值．

解答：解：（1）依題意C過點（0，1），所以設C方程為y=kx+1．
因為點A(n ， 

an+1

an

)（n∈N^*）在C上，所以

an+1

an

=kn+1，
代入

an+1

an

-

an

an-1

=1，得k=1，故

an+1

an

=n+1．
∴

an

an-1

=n，

an-1

an-2

=n-1，…，

a2

a1

=2，且a₁=1，
各式相乘得a_n=n!．
（2）∵

an

(n+2)!

=

n!

(n+2)!

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

，
∴Sn=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

，
∴

lim

n→∞

Sn=

1

2

．

點評：本題主要考查利用數列的遞推關系求數列的通項公式，用裂項法進行數列求和，求數列的極限，屬于中檔題．