Question

【題目】《九章算術》是我國古代數學名著,它在幾何學中的研究比西方早1000多年,在《九章算術》中,將底面為直角三角形,且側棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵(qian du);陽馬指底面為矩形,一側棱垂直于底面的四棱錐,鱉膈(bie nao)指四個面均為直角三角形的四面體.如圖在塹堵中,.

(1)求證:四棱錐為陽馬;

(2)若,當鱉膈體積最大時,求銳二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析;(2).

【解析】

(1)按照題目定義，只要證明面即可，而由，即可證出面；

(2)先根據基本不等式求出當時，鱉膈體積最大，然后建立如圖所示的空間直角坐標系，根據向量法即可求出銳二面角的余弦值．

(1)∵底面，面

∴

又，

∴面，

又四邊形為矩形

∴四棱錐為陽馬．

(2)∵，，∴

又∵底面，

∴

當且僅當時，取最大值

∵，底面

∴以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系

，，

，，

設面的一個法向量

由得

同理得

∴

二面角的余弦值為．