Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，點(diǎn)的極坐標(biāo)為，直線的極坐標(biāo)方程為，且過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)與直線平行的直線為， 與曲線相交于兩點(diǎn).

（1）求曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值；

（2）求的值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】試題分析：（1）將點(diǎn)坐標(biāo)代入直線的極坐標(biāo)方程，求得的值，展開(kāi)后可將直線的極坐標(biāo)方程轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程.利用點(diǎn)到直線的距離公式求出的表達(dá)式，利用三角函數(shù)輔助角公式可求得距離的最小值.（2）利用點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率可求得的方程，寫出的參數(shù)方程，代入曲線的普通方程，化簡(jiǎn)后寫出韋達(dá)定理，利用弦長(zhǎng)公式可求得的值.

試題解析：

（1）因?yàn)?/span>，且，所以，即

所以直線的極坐標(biāo)方程為

所以

即直線的直角坐標(biāo)方程為

設(shè)曲線上的點(diǎn)到直線距離為，則

所以曲線上的點(diǎn)到直線距離的最小值為

（2）設(shè)的方程為，由于過(guò)點(diǎn)，所以，所以的方程為

故的參數(shù)方程為（為參數(shù)），曲線的普通方程為

所以，即有

所以

所以