Question

【題目】已知曲線：和：（為參數）.以原點為極點，軸的正半軸為極軸，建立極坐標系，且兩種坐標系中取相同的長度單位.

（1）求曲線的直角坐標方程和的方程化為極坐標方程；

（2）設與，軸交于，兩點，且線段的中點為.若射線與，交于，兩點，求，兩點間的距離.

Answer 1

【答案】（1），；（2）1.

【解析】

（1）利用正弦的和角公式，結合極坐標化為直角坐標的公式，即可求得曲線的直角坐標方程；先寫出曲線的普通方程，再利用公式化簡為極坐標即可；

（2）先求出的直角坐標，據此求得中點的直角坐標，將其轉化為極坐標，聯立曲線的極坐標方程，即可求得兩點的極坐標，則距離可解.

（1）：可整理為，

利用公式可得其直角坐標方程為：，

：的普通方程為，

利用公式可得其極坐標方程為

（2）由（1）可得的直角坐標方程為，

故容易得，，

∴，∴的極坐標方程為，

把代入得，.

把代入得，.

∴，

即，兩點間的距離為1.