Question

【題目】已知函數，.

（1）討論函數的單調性；

（2）當a=1時，若關于的不等式恒成立，求實數的取值范圍．

Answer 1

【答案】(1)見解析；(2)

【解析】

（1）求出，對a分類討論，解不等式即可得到函數的單調性；

（2）關于的不等式恒成立等價于在恒成立，構建函數，研究其單調性與最值即可.

解：（1）

當時，，在單調遞增；

當時，由得：；由得：，

在單調遞減，在單調遞增

綜上：當時，在單調遞增；

當時，在單調遞減，在單調遞增.

（2）由題意：當時，不等式，

即

即在恒成立，

令，則，

令，則，

在單調遞增

又，所以，有唯一零點（）

所以，，即--------（※）

當時，即，單調遞減；時，即，單調遞增，所以為在定義域內的最小值.

令則方程（※）等價于

又易知單調遞增，所以，

所以，的最小值

所以，即

所以實數的取值范圍是