Question

【題目】設中心在原點，焦點在軸上的橢圓過點，且離心率為．為的右焦點，為上一點，軸，的半徑為．

（1）求和的方程；

（2）若直線與交于兩點，與交于兩點，其中在第一象限，是否存在使？若存在，求的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1) 的方程為．的方程為．(2) 滿足題設條件的直線不存在．理由見解析

【解析】

（1）利用待定系數法求出橢圓與圓的方程；

（2）若，則．聯立方程，利用韋達定理可得，顯然與題意矛盾，故不存在.

（1）設橢圓的方程為．

由，從而得，從而，即．

又橢圓過點，從而得，解得，，

從而所求橢圓的方程為．

所以，令，得，

所以的方程為．

（2）不存在，理由如下：

若，則．

聯立，整理，得．

設、，則．

從而

由，從而，從而，矛盾．

從而滿足題設條件的直線不存在．