Question

【題目】已知函數，.

（1）函數是否有極值？若有，求出極值；若沒有，說明理由.

（2）若對任意，，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）分類討論，詳見解析；（2）.

【解析】

（1）求得函數的導數，利用導數求得函數的單調性，進而可求解函數的極值．

（2）利用函數的導數，求得，把使得對成立，轉化為對于恒成立，結合（1）中函數的單調性，分類討論，即可求解．

（1）由題意，函數的定義域為，且，

當時，，的單調增區間為，沒有極值，

當時，令，解得；令，解得，

所以的單調增區間為，單調減區間為，

∴有極大值，沒有極小值.

（2）由，

令，則，

當時，，在上是減函數，

所以當時，，即，

∴要使得對成立，等價于對于恒成立，

當時，由（1）知，，所以當成立，必有，

當時，，由（1）有，從而不恒成立，

當時，令，

則，

所以在上是減函數，所以時，，

綜上，可得的取值范圍是.