Question

【題目】記函數的定義域為D，若存在，使成立，則稱以為坐標的點是函數的圖象上的“穩定點”．

（1）若函數的圖象上有且只有兩個相異的“穩定點”，試求實數a的取值范圍；

（2）已知定義在實數集R上的奇函數存在有限個“穩定點”，求證：必有奇數個“穩定點”．

Answer 1

【答案】(1) 或且．(2)證明見解析

【解析】

（1）設是函數的圖象上的兩個“穩定點”，由定義可得，所以是方程的兩相異實根且不等于a，由此可得關于a的不等式組，解出即可；

（2）由為R上的奇函數可判斷原點（0，0）是函數的“穩定點”，只要再說明除原點外“穩定點”成對出現即可；

解：（1）設是函數的圖象上的兩個“穩定點”，

則，即有

是有兩個不相等的實數根且不等于，

，解得或且．

（2）據題意得：是定義在實數集R上的奇函數．

①是奇函數，；所以必是函數的圖像上的“穩定點”；

②若，是函數的圖像上的“穩定點”；是奇函數，必有，故也是函數的圖像上的“穩定點”；也就是說和是成對出現的．

綜上所述：必有奇數個“穩定點”．