Question

【題目】如圖，在四棱錐中，底面，，，，，點為棱的中點.

（1）證明：面；

（2）證明：面面；

（3）求直線與面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析

（2）證明見解析

（3）

【解析】

(1)取中點,證明即可.
(2)證明面即可.

(3)利用等體積法,先求出三棱錐的體積,再求出的面積,進而求得到平面的體積,再求解與面所成角的正弦值即可.

(1) 取中點,連接.

因為為棱的中點,所以且,又且,

故且,故四邊形為平行四邊形,故,

又面,面,故面.

(2)因為,故,又底面,故面面,

又面面,,,故,

故面,故.

所以 ,面,面,故面.

又,所以面.又面故面面.

(3).

又,,

.故.

故到平面的距離滿足

即,所以.

設直線與面所成角為,則

即直線與面所成角的正弦值為.