Question

【題目】如圖所示，橢圓C：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，橢圓C過點，T為直線上的動點，過點T作橢圓C的切線，，A，B為切點.

（1）求證：A，，B三點共線；

（2）過點作一條直線與曲線C交于P，Q兩點.過P，Q作直線的垂線，垂足依次為M，N.求證：直線與交于定點.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先寫出切線，的方程，將代入即可得到直線的方程；

（2）當PQ的斜率不存在時，易得直線與交于定點，當PQ的斜率存在時，分別寫出直線，直線的方程，結合對稱性以及斜率不存在的特殊情況，可知定點一定在x軸上，結合韋達定理即可解決.

（1）由已知得，，又，解得，，所以橢圓C的方程為.

由于，設，，，則切線，的方程分別為，，

由于切線，過點，所以，，

即，，所以直線的方程為.

已知直線過點，所以A，，B三點共線.

（2）當軸時，易得，，，

直線PN的方程為，即，

直線MQ的方程為，即，

直線與交于定點.

當不垂直于x軸時，設過點的直線為，聯立，

得.

則，

設，，，則，，

過P，Q作直線的垂線，垂足依次為M，N，則，，

所以直線：，令，化為

.

所以直線：，令，化為.

因為，

所以，

直線與交于定點.

綜上，直線與交于定點.