Question

【題目】已知拋物線：（）的焦點(diǎn)為，為上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，以線段為直徑作.當(dāng)過(guò)時(shí)，的面積為3.

（1）求的方程；

（2）是否存在垂直于軸的直線，使得被所截得的弦長(zhǎng)為定值？若存在，求的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在；直線：

【解析】

（1），設(shè)，所以，，故不妨設(shè)，根據(jù)面積計(jì)算得到，得到答案.

（2）設(shè)直線：，被圓所截得的弦長(zhǎng)為，，故，代入化簡(jiǎn)得到，得到答案.

（1）由題意得，，

依題意，當(dāng)圓過(guò)時(shí)，因?yàn)?/span>為直徑，所以，即軸.

設(shè)，所以，又，解得，故不妨設(shè)，

因?yàn)?/span>，又，得，

由題意得，，即，解得或（舍去）.·

故：.

（2）設(shè)直線：，被圓所截得的弦長(zhǎng)為.

因?yàn)?/span>，所以點(diǎn)到：的距離為，

又圓的半徑，根據(jù)垂徑定理有，

得，化簡(jiǎn)得，

把代入上式得，，其中，

故當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，無(wú)論取何值，恒有.

所以存在直線：被圓所截得的弦長(zhǎng)恒為.