Question

【題目】如圖，在直三棱柱中，點分別為線段的中點.

（1）求證：平面；

（2）若在邊上，，求證：.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析（2）詳見解析

【解析】試題分析：（1）由題意，利用三角形中位線定理可證MN∥BC，即可判定MN∥平面；（2）利用線面垂直的性質可證CC1⊥AD，結合已知可證AD⊥平面，從而證明AD⊥BC，結合（1）知，MN∥BC，即可證明MN⊥AD

試題解析：（1）如圖，連結A1C．]

在直三棱柱ABC－A1B1C1中，側面AA1C1C為平行四邊形．

又因為N為線段AC1的中點，

所以A1C與AC1相交于點N，

即A1C經過點N，且N為線段A1C的中點． ……………… 2分

因為M為線段A1B的中點，

所以MN∥BC． ……………… 4分

又MN平面BB1C1C，BC平面BB1C1C，

所以MN∥平面BB1C1C． ………………… 6分

（2）在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CC1⊥平面ABC．

又AD平面ABC，所以CC1⊥AD． …………………… 8分

因為AD⊥DC1，DC1平面BB1C1C，CC1平面BB1C1C，CC1∩DC1＝C1，

所以AD⊥平面BB1C1C． …………………… 10分

又BC平面BB1C1C，所以AD⊥BC． …………………… 12分

又由（1）知，MN∥BC，所以MN⊥AD． …………………… 14分