Question

已知函數f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，對任意的x∈R，恒有f′(x)≤f(x)．

(1)證明：當x≥0時，f(x)≤(x＋c)2；

(2)若對滿足題設條件的任意b，c，不等式f(c)－f(b)≤M(c2－b2)恒成立，求M的最小值．

 

Answer 1

（1）見解析（2）

【解析】(1)易知f′(x)＝2x＋b.由題設，對任意的x∈R，2x＋b≤x2＋bx＋c，即x2＋(b－2)x＋c－b≥0恒成立，所以(b－2)2－4(c－b)≤0，從而c≥＋1.于是c≥1，

且c≥2 ＝|b|，因此2c－b＝c＋(c－b)＞0.

故當x≥0時，有(x＋c)2－f(x)＝(2c－b)x＋c(c－1)≥0.即當x≥0時，f(x)≤(x＋c)2.

(2)由(1)知c≥|b|.當c＞|b|時，有M≥＝.

令t＝，則－1＜t＜1，＝2－.

而函數g(t)＝2－ (－1＜t＜1)的值域是.

因此，當c＞|b|時，M的取值集合為.

當c＝|b|時，由(1)知b＝±2，c＝2.此時f(c)－f(b)＝－8或0，c2－b2＝0，從而f(c)－f(b)≤(c2－b2)恒成立．綜上所述，M的最小值為.