Question

兩個(gè)人射擊，甲射擊一次中靶概率是p₁，乙射擊一次中靶概率是p₂，若兩人各射擊5次，甲的方差是 

5

4

，且

1

p1

•

1

p2

=6，
（1）求 p₁、p₂的值；
（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，則完成目的概率是多少？
（3）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，則完成目的概率是多少？

Answer 1

分析：（1）甲射擊5次，中靶次數(shù)k服從二項(xiàng)分布，根據(jù)二項(xiàng)分布的方差計(jì)算公式Dξ_甲=5p₁ （1-p₁），即可求得p₁，根據(jù)

1

p1

•

1

p2

=6，可求得p₂的值；
（2）兩人各射擊2次，中靶至少3次就算完成目的，分兩種情況討論，共擊中3次的概率，根據(jù)n次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn)事件A恰好發(fā)生k的概率公式，代入即可求得結(jié)果；同理可求出擊中4次的概率，這兩種情況互斥，根據(jù)概率的加法公式即可求得結(jié)果；
（3）兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的，該事件的對(duì)立事件為“兩人各射擊一次，沒有中靶”，利用對(duì)立事件的概率公式即可求得結(jié)果．

解答：解：（1）由題意可知 ξ_甲～B（5，p₁），
∴Dξ_甲=5p₁ （1-p₁）=

5

4

?p₁²-p₁+

1

4

=0?p₁=

1

2

；
又 

1

p1

•

1

p2

=6，
∴p₂=

1

3

．   
（2）兩類情況：
∴共擊中3次概率C₂²（ 

1

2

） ² （1-

1

2

） ⁰×C₂¹（ 

1

3

） ¹ （ 

2

3

） ¹+C₂¹（ 

1

2

） ¹ （ 

1

2

） ¹×C₂²（ 

1

3

） ²（ 

1

3

） ⁰
=

1

6

；
共擊中4次概率C₂²（ 

1

2

） ² （ 

1

2

） ⁰×C₂²（ 

1

3

） ² （ 

2

3

） ⁰=

1

36

． 
∴所求概率為 

1

6

+

1

36

=

7

36

．  
（3）設(shè)事件A，B分別表示甲、乙能擊中．
∵A，B互相獨(dú)立，
∴P（

.

A

•

.

B

 ）=P（

.

A

） P（

.

B

）=（1-P（A） ）（1-P（B） ）=（1-p₁）（1-p₂）=

1

2

×

2

3

=

1

3

，
∴“兩人各射擊一次，中靶至少一次就算完成目的”的概率為：1-P（

.

A

•

.

B

）=

2

3

點(diǎn)評(píng)：這一類型的試題在連續(xù)幾年的新課程卷都出現(xiàn)了，重點(diǎn)考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了《考試說明》所要求的創(chuàng)新意識(shí)和實(shí)踐能力以及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．該題仍然是常規(guī)題，要求考生耐心細(xì)致，審題能力較強(qiáng)，并善于利用材料進(jìn)行分析說明，屬中檔題．