Question

已知函數f(x)的定義域為D，且f(x)同時滿足以下條件：

①f(x)在D上單調遞增或單調遞減；

②存在區間[a，b]D，使得f(x)在[a，b]上的值域是[a，b]，那么我們把函數f(x)(x∈D)叫做閉函數．

(1)求閉函數y＝－x³符合條件2的區間[a，b]．

(2)判斷函數y＝2x－lgx是不是閉函數？若是，請說明理由，并找出區間[a，b]；若不是，請說明理由．

(3)若y＝k＋是閉函數，求實數k的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)因為y＝－x3在R上單調遞減，所以區間[a，b]滿足解得所以[a，b]＝[－1，1]． 　　(2)取x＝0.01，則y＝2.02；取x＝1，則y＝2；取x＝10，則y＝19． 　　所以y＝2x－lgx在(0，＋∞)上不滿足條件(1)，即y＝2x－lgx不是閉函數． 　　(3)因為y＝k＋在(－2，＋∞)上是單調遞增的， 　　設滿足條件(2)的區間為[a，b]，則有解． 　　即方程k＋＝x至少有兩個不相同的解． 　　這等價于方程x2－(2k＋1)x＋k2－2＝0有兩個大于等于k的不相同的解． 　　所以解得－＜k≤－2．所以實數k的取值范圍為－＜k≤－2．