Question

（08年泰安市模擬）（12分）已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3，DC=1，∠BAD=45°，DE⊥AB（如圖1）。現將△ADE沿DE折起，使得AE⊥EB（如圖2），連結AC，AB，設M是AB的中點。

   （I）求證：BC⊥平面AEC；

   （II）求二面角C―AB―E的正切值；

   （III）判斷直線EM是否平行于平面ACD，并說明理由。

 

Answer 1

解析：證：（I）在圖1中，過C作CF⊥EB，

∵DE⊥EB，∴四邊形CDEF是矩形，

∵CD=1，∴EF=1。

∵四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3。

∴AE=BF=1。

∵∠BAD=45°，∴DE=CF=1。

連結CE，則CE=CB=

∵EB=2，∴∠BCE=90°。

則BC⊥CE。                                                 …………3分

在圖2中，∵AE⊥EB，AE⊥ED，EB∩ED=E，

∴AE⊥平面BCDE。

∵BC平面BCDE，∴AE⊥BC。                                 …………5分

∵AE∩CE=E，∴BC⊥平面AEC。                                …………6分

   （II）∵AE⊥平面BCDE，CF平面BCDE。

∴AE⊥CF。

∴CF⊥平面ABE。

過C作CG⊥AB，連結FG，則∠CGF就是二面角C―AB―E的平面角。……6分

又CF=1，AE=1，CE=BC=。

∴AC=

在Rt△ACB中，AB=

又AC?BC=AB?CG，∴CG=

∴FG=

∴二面角C―AB―E的正切值為                             …………8分

   （III）用反證法。

假設EM∥平面ACD。                                         

∵EB∥CD，CD平面ACD，EB平面ACD，

∴EB∥平面ACD。∵EB∩EM=E，∴面AEB∥面ACD                  …………10分

而A∈平面AEB，A∈平面ACD，

與平面AEB//平面ACD矛盾。

∵假設不成立。

∴EM與平面ACD不平行。                                      …………12分