Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

（2）當(dāng)a∈[1，e)時(shí)，求方程的根的個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）（2）有且只有一個(gè)根

【解析】

（1），即，求函數(shù)的最大值得到答案.

（2）求導(dǎo)，討論，兩種情況，根據(jù)單調(diào)性得到的極大值為，設(shè)，求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理得到答案.

（1）定義域：，在時(shí)恒成立，

即在時(shí)恒成立，所以時(shí)，，

由于，所以.

（2）設(shè)=

，

①當(dāng)時(shí)，，在是單調(diào)遞增，

，，

所以存在唯一的使，即方程只有一個(gè)根.

②當(dāng)時(shí)，則，令，有或.

所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

的極大值為.

設(shè)，其中，則.

所以在上是增函數(shù)，所以，即，

所以在上無(wú)零點(diǎn).

又，，所以，

又在單調(diào)遞增，所以存在唯一的使.

即方程只有一個(gè)根.

綜上所述，當(dāng)時(shí)，方程有且只有一個(gè)根.