Question

【題目】已知奇函數的導函數為，且，當時恒成立，則使得成立的的取值范圍為（ ）

A. B.

C. D.

Answer 1

【答案】C

【解析】

根據題意構造函數g（x）＝xf（x），結合條件可得到函數g（x）的單調性和奇偶性，結合函數g（x）的單調性、奇偶性畫出函數的大致圖象，由圖象可得x的取值范圍．

由題意設g（x）＝xf（x），則g′（x）＝xf′（x）+f（x），

∴當x＞0時，g′（x）＞0，函數g（x）在（0，+∞）上為增函數，

∵函數f（x）是奇函數，

∴g（﹣x）＝（﹣x）f（﹣x）＝（﹣x）[﹣f（x）]＝xf（x）＝g（x），

∴函數g（x）為定義域上的偶函數，

由f（﹣1）＝0得，g（﹣1）＝0，函數g（x）的圖象大致如圖：

∵不等式f（x）＞0，∴或，

由函數的圖象得，﹣1＜x＜0或x＞1，

∴使得f（x）＞0成立的x的取值范圍是：（﹣1，0）∪（1，+∞），

故選：C．