Question

【題目】如圖，在四棱錐中，為矩形，是以為直角的等腰直角三角形，平面平面．

（Ⅰ）證明：平面平面；

（Ⅱ）為直線的中點，且，求二面角的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；

（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由為矩形，得，再由面面垂直的性質可得平面，則，結合，由線面垂直的判定可得平面，進一步得到平面平面；

（Ⅱ）取中點O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，分別求出平面與平面的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值可得二面角的余弦值，再由平方關系求得二面角的正弦值．

（Ⅰ）證明：為矩形，，

平面平面，平面平面，

平面，則，

又，，

平面，而平面，

平面平面；

（Ⅱ）取中點O，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，

由，是以為直角的等腰直角三角形，

得：，

．

設平面的一個法向量為，

由，取，得；

設平面的一個法向量為，

由，取，得.

．

∴二面角的正弦值為．