Question

【題目】已知拋物線焦點為，過點與軸垂直的直線交拋物線的弦長為2.

（1）求拋物線的方程；

（2）點和點為兩定點，點和點為拋物線上的兩動點，線段的中點在直線上，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

由題意知,將代入拋物線方程解得弦長,進而求出即可;

由（1）知拋物線的方程為：，設，直線的斜率為，線段的中點為，由題意可設,利用點差法可得，把直線的方程與拋物線方程聯立得到關于的一元二次方程,利用判別式求出的取值范圍,利用韋達定理和弦長公式求出,利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離即可求出面積的表達式,,把表示為關于的函數,通過求導判斷單調性求最大值即可.

（1）由題得拋物線的焦點為，

在方程中,令得，

所以弦長為，即，解得，

所以拋物線的方程為：.

（2）由（1）知拋物線的方程為：，

設，直線的斜率為，

因為線段的中點在直線上，

由可知直線的方程為：，

所以可設，

所以，

又，，

所以，即得,

所以可設直線的方程為.

所以，

所以判別式，

由韋達定理可得,，，

，

而點到直線的距離為，

所以

，

記，因為，所以，

所以，，

所以，令,則，

當時,；當時，；

所以當時，有最大值為.