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函數f（x）=xe^-x的單調增區間是

（-∞，1）

．

分析：求出原函數的導函數，由導函數大于0求取x的集合得答案．

解答：解：由f（x）=xe^-x，
得f′（x）=e^-x-x•e^-x=e^-x（1-x）．
由f′（x）＞0，得x＜1．
∴函數f（x）=xe^-x的單調增區間是（-∞，1）．
故答案為（-∞，1）．

點評：本題考查了利用導數研究函數的單調性，考查了函數的單調區間與導函數的符號之間的關系，是中檔題．

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下列命題中正確的有

．（填上所有正確命題的序號）
①若f（x）可導且f'（x₀）=0，則x₀是f（x）的極值點；
②函數f（x）=xe^-x，x∈[2，4]的最大值為2e^-2；
③已知函數f(x)=

-x2+2x

，則∫_1f(x)dx的值為

；
④一質點在直線上以速度v=t²-4t+3（m/s）運動，從時刻t=0（s）到t=4（s）時質點運動的路程為

(m)．

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函數f（x）=xe^-x，x∈[2，4]的最大值是

．

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已知函數f（x）=xe^-x+（x-2）e^x-a（e≈2.73）．
（1）當a=2時，證明函數f（x）是增函數；
（2）當x≥1時，f(x)≥

(x-1)2

恒成立，求實數a的取值范圍．

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