Question

【題目】已知函數．

（1）令，判斷g(x)的單調性；

（2）當x＞1時，，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出，分兩種情況討論的范圍，在定義域內，分別令求得的范圍，可得函數增區間，求得的范圍，可得函數的減區間；（2）討論的范圍，分別利用導數以及函數的單調性，結合單調性判斷函數是否有最大值，當函數有最大值時，令其最大值小于零即可求得的范圍.

（1）由，則，

所以（x＞0）．

①當a≤0時，，為的減函數；

②當a＞0時，

若，即時，，為的減函數；

若，即時，由有兩根得

在上，為減函數；在上，為增函數；

在上，為減函數．

綜上：當時，為的減函數；

當時，在上，為減函數；在上，為增函數；在上，為減函數．

（2）由（1）知，對a討論如下，

①當a≤0時，，則為（1，＋∞）上的減函數，

則，故為（1，＋∞）的減函數，

由于，所以，即a≤0時滿足題意．

②當a＞0時，由于，對其討論如下：

(A)若，即a≤1，則由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數，

則，所以為（1，＋∞）的減函數，

由于，所以，即0＜a≤1時滿足題意．

(B)若，即a＞1，則由（1）知，

當時，為（1，＋∞）上的減函數，又，

所以存在，使得在時，，于是為的增函數，

因為，

所以，即1＜a≤時不滿足題意．

當時，由于，所以對與1的大小關系討論如下，

1)如果，即，那么由（1）知，為（1，＋∞）上的減函數，

又，

則存在，使得在時，，于是為的增函數，

又，則，即時不滿足題意．

2)如果，即，那么由（1）知，為（1，）上的增函數，

則當時，，于是為的增函數，

又，則，即時不滿足題意．

綜上所述，a的取值范圍為．