Question

【題目】數學家歐拉在1765年提出，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線．已知△ABC的頂點A(2，0)，B(0，4)，若其歐拉線的方程為x－y＋2＝0，則頂點C的坐標為

A. (－4，0) B. (－3，-1) C. (－5，0) D. (－4，-2)

Answer 1

【答案】A

【解析】

設點的坐標為C(m，n)，由重心公式得到關于m,n的方程，然后利用外心與點B的距離與外心與點C的距離相等得到關于m,n的方程，兩方程聯立即可確定頂點C的坐標.

設C(m，n)，由重心公式，可得△ABC的重心為，

代入歐拉直線有：，

整理得m－n＋4＝0　①.

AB的中點為(1，2)，kAB＝＝－2，

AB的中垂線方程為y－2＝(x－1)，即x－2y＋3＝0，

聯立可得：，所以△ABC的外心為(－1，1)，

外心與點B的距離：，

外心與點B的距離與外心與點C的距離相等，則：

(m＋1)2＋(n－1)2＝10，整理得m2＋n2＋2m－2n＝8　②，

聯立①②，可得m＝－4，n＝0或m＝0，n＝4.

當m＝0，n＝4時，B，C兩點重合，舍去，

當m＝－4，n＝0時滿足題意.

所以點C的坐標為(－4，0)．

本題選擇A選項.