Question

【題目】已知四棱錐P﹣ABCD的底面為矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，AD=1，點M為PC中點，過A、M的平面α與此四棱錐的面相交，交線圍成一個四邊形，且平面α⊥平面PBC．

（1）在圖中畫出這個四邊形（不必說出畫法和理由）；
（2）求平面α與平面ABM所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）解：取PB中點N，連接AN，DM，MN，

則MN∥AD，MN與AD確定平面α

（2）解：分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標系，

∵PA=AB=2，AD=1，點M為PC中點，N為PB中點，

∴ ，

， ，

設平面AMB的法向量 ，

則由 ，取x=2，得 ．

平面α的法向量 ，

∴平面α與平面AMB所成二面角的余弦值 ．

【解析】（1）取PB中點N，連接AN，DM，MN，則MN∥AD，由公理2的推論可得平面α；（2）分別以AD、AB、AP所在直線為x、y、z軸建立如圖直角坐標系，由已知求得所用點的坐標，進一步求得平面α與平面ABM的法向量，由法向量所成角的余弦值可得平面α與平面ABM所成銳二面角的余弦值．