Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，記在區間的最大值為，最小值為，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見詳解；(2) .

【解析】

(1)先求的導數，再根據的范圍分情況討論函數單調性；(2) 討論的范圍，利用函數單調性進行最大值和最小值的判斷，最終求得的取值范圍.

(1)對求導得.所以有

當時，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增；

當時，區間上單調遞增；

當時，區間上單調遞增，區間上單調遞減，區間上單調遞增.

(2)

若，在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以區間上最小值為.而，故所以區間上最大值為.

所以，設函數，求導當時從而單調遞減.而，所以.即的取值范圍是.

若，在區間單調遞減，在區間單調遞增，所以區間上最小值為而，故所以區間上最大值為.

所以，而，所以.即的取值范圍是.

綜上得的取值范圍是.