Question

【題目】為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程，檢驗(yàn)員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個(gè)零件，并測(cè)量其尺寸（單位：cm）.根據(jù)長(zhǎng)期生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布.

（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記X表示一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中其尺寸在之外的零件數(shù)，求及X的數(shù)學(xué)期望；

（2）一天內(nèi)抽檢零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

（ⅰ）試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性；

（ⅱ）下面是檢驗(yàn)員在一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件的尺寸：

9.95	10.12	9.96	9.96	10.01	9.92	9.98	10.04
10.26	9.91	10.13	10.02	9.22	10.04	10.05	9.95

經(jīng)計(jì)算得，，其中xi為抽取的第i個(gè)零件的尺寸，.

用樣本平均數(shù)作為μ的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查？剔除之外的數(shù)據(jù)，用剩下的數(shù)據(jù)估計(jì)μ和σ（精確到0.01）.

附：若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布，則，，.

Answer 1

【答案】（1），（2）（ⅰ）見詳解；（ⅱ）需要. ,

【解析】

（1）依題知一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率，可知尺寸在之外的概率為0.0026，而，進(jìn)而可以求出的數(shù)學(xué)期望.

（2）（i）判斷監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法的合理性，重點(diǎn)是考慮一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件的概率是大還是小，若小即合理；

（ii）計(jì)算，剔除之外的數(shù)據(jù)，算出剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)，即為的估計(jì)值，剔除之外的數(shù)據(jù)，剩下數(shù)據(jù)的樣本方差，即為的估計(jì)值.

（1）抽取的一個(gè)零件的尺寸在之內(nèi)的概率為0.9974，

從而零件的尺寸在之外的概率為0.0026，

故.

因此.

的數(shù)學(xué)期望為.

（2）（i）如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，

一個(gè)零件尺寸在之外的概率只有0.0026，

一天內(nèi)抽取的16個(gè)零件中，出現(xiàn)尺寸在之外的零件

概率只有0.0408，發(fā)生的概率很小.

因此一旦發(fā)生這種情況，就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程

可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查，

可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.

（ii）由，

得的估計(jì)值為，的估計(jì)值為，

由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個(gè)零件的尺寸在之外，

因此需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.

剔除之外的數(shù)據(jù)，

剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，

因此的估計(jì)值為.

，

剔除之外的數(shù)據(jù)，

剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為，

因此的估計(jì)值為.