Question

【題目】已知函數.

（1）若，求證：.

（2）討論函數的極值；

（3）是否存在實數，使得不等式在上恒成立？若存在，求出的最小值；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）見解析；（3）存在，1.

【解析】

（1），求出單調區間，進而求出，即可證明結論；

（2）對（或）是否恒成立分類討論，若恒成立，沒有極值點，若不恒成立，求出的解，即可求出結論；

（3）令，可證恒成立，而，由（2）得，在為減函數，在上單調遞減，在都存在，不滿足，當時，設，且，只需求出在單調遞增時的取值范圍即可.

（1），，

，當時，，

當時，，∴，故.

（2）由題知，，，

①當時，，

所以在上單調遞減，沒有極值；

②當時，，得，

當時，；當時，，

所以在上單調遞減，在上單調遞增.

故在處取得極小值，無極大值.

（3）不妨令，

設在恒成立，

在單調遞增，，

在恒成立，

所以，當時，，

由（2）知，當時，在上單調遞減，

恒成立；

所以不等式在上恒成立，只能.

當時，，由（1）知在上單調遞減，

所以，不滿足題意.

當時，設，

因為，所以，

，

即，

所以在上單調遞增，

又，所以時，恒成立，

即恒成立，

故存在，使得不等式在上恒成立，

此時的最小值是1.