Question

【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，已知PB⊥底面ABCD，，，，，異面直線PA和CD所成角等于60°.

（1）求直線PC和平面PAD所成角的正弦值的大小：

（2）在棱PA上是否存在一點E，使得二面角A-BE-D的余弦值為？若存在，指出點E在棱PA上的位置；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）棱上是存在一點，使得二面角的余弦值為，此時.

【解析】

（1）先證明，，從而可建立如圖所示的空間直角坐標系，再利用及異面直線和所成角等于求出的坐標，求出平面的法向量后可求線面角的正弦值.

（2）設(shè)，從而可用表示的坐標，進而可用表示平面的法向量，最后利用給定的二面角的余弦值得到關(guān)于的方程，解出即可得到所求的的位置.

（1）因為底面，底面，故，同理.

又因為，故可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，

.

設(shè)，，其中，

則，，，

因為，故，所以，

所以，.

因為異面直線和所成角等于，

故，解得或（舍），

所以，，.

設(shè)平面的法向量為，

由可得，取，則，故.

又，設(shè)直線與平面所成的角為，

則.

（2）設(shè)，，則，所以.

又，，

設(shè)平面的法向量為，

由可得，取，則，

故.

又平面的法向量為，而二面角的余弦值為，

所以，解得或（舍），

所以棱上是存在一點，使得二面角的余弦值為，

此時.